目錄
1. 引言
區塊鏈技術，特別是比特幣的工作量證明共識機制，代表了去中心化系統的典範轉移。本文運用平均場博弈理論來模擬比特幣礦工之間的策略互動——這是一大群競爭解決密碼學難題的參與者。核心目標是描述投入挖礦的總計算能力（算力）的均衡動態，及其對區塊鏈安全性的意涵。理解這個賽局理論基礎至關重要，因為協議的安全性完全依賴於在無信任環境中正確對齊的激勵機制。
2. 理論框架
2.1 平均場博弈基礎
由Lasry和Lions開創的平均場博弈理論，為分析具有大量互動參與者的系統中的策略決策提供了一個數學框架。參與者並非追蹤每個個體，而是對整個群體狀態和行動的統計分佈（「平均場」）做出反應。這特別適用於比特幣挖礦，成千上萬的礦工根據網路總算力來決定其投資和營運決策。
2.2 在挖礦博弈中的應用
PoW挖礦過程被建模為一個連續時間、非合作的賽局。每個礦工 $i$ 控制其計算能力 $q_i(t)$，並產生能源成本 $C(q_i)$。成功挖出一個區塊的機率與其佔總算力 $Q(t) = \sum_i q_i(t)$ 的份額成正比。以原生加密貨幣計價的區塊獎勵 $R(t)$ 提供了激勵。挖礦難度 $D(t)$ 的動態調整確保了預期的區塊時間恆定，從而將個體行動與全局狀態連結起來。
3. 模型建構
3.1 礦工的最優化問題
個別礦工尋求最大化預期未來獎勵減去成本的淨現值。其目標函數可表述為：
$$ \max_{q_i(\cdot)} \mathbb{E} \left[ \int_0^{\infty} e^{-\rho t} \left( \frac{q_i(t)}{Q(t)} \cdot \frac{R(t)}{\tau} - C(q_i(t), \theta(t)) \right) dt \right] $$ 其中 $\rho$ 是折現率，$\tau$ 是目標區塊時間，$\theta(t)$ 代表外生狀態，如能源價格或技術進步。
3.2 主方程推導
均衡由一個主方程所描述——這是一個偏微分方程，描述了在給定所有礦工狀態分佈 $m$ 的情況下，代表性礦工的價值函數 $V(m, t)$ 的演變。該方程結合了Hamilton-Jacobi-Bellman最優性條件和描述分佈演變的Kolmogorov正向方程：
$$ \partial_t V + H(m, \partial_m V) + \langle \partial_m V, b(m) \rangle + \frac{\sigma^2}{2} \text{tr}(\partial_{mm} V) = \rho V $$ 求解此方程可得到均衡控制 $q^*(t)$ 以及由此產生的平均場軌跡。
4. 均衡分析
4.1 確定性穩態
在技術進步率 $g$ 恆定的確定性設定下，模型預測總算力 $Q(t)$ 會收斂到一個穩態增長路徑。在均衡狀態下，算力增長率與技術進步率相同：$Q(t) \sim e^{g t}$。這與比特幣歷史中觀察到的長期趨勢一致，儘管價格波動，算力仍呈指數增長。
4.2 隨機目標算力
當納入隨機衝擊（例如，隨機的加密貨幣價格 $S_t$）時，分析揭示了每個世界狀態下都有一個「目標算力」$Q^*(S_t)$。系統表現出均值回歸行為：如果實際算力偏離 $Q^*$，經濟激勵會驅使礦工進入或退出，將其推回目標值。這為網路提供了內在的穩定性。
5. 安全性意涵
5.1 算力與安全性的關係
PoW區塊鏈的主要安全指標是執行51%攻擊所需的成本，這大致與總算力成正比。MFG模型證明，在均衡狀態下，此安全水準要麼恆定，要麼隨著加密貨幣的基本需求而增加。這是一個有力的結果：它表明協議設計內生地產生了與系統經濟價值相稱的安全性。
5.2 攻擊韌性
該模型意味著，短期價格崩盤可能不會立即危及安全性。因為算力會調整至目標值 $Q^*(S_t)$，且挖礦硬體具有沉沒成本，算力——以及安全性——的下降速度可能比價格更慢。然而，經濟價值的持續下跌最終將拉低目標算力和攻擊成本。
6. 結果與討論
6.1 實驗驗證
儘管本文是理論性的，但其預測與實證觀察結果一致。模型的核心預測——算力遵循與技術進步（$g$）一致的長期趨勢，同時圍繞一個隨機目標波動——與比特幣算力的歷史軌跡相符（參見隱含的圖1：對數尺度下的比特幣算力）。價格快速上漲時期，算力會飆升至趨勢線以上，而熊市時期則增長緩慢或暫時下降，隨後回歸。
6.2 比特幣算力分析
所提供的圖表（以每秒兆次哈希為單位的比特幣算力，對數尺度）將顯示隨時間呈指數增長並伴有顯著波動。MFG框架將此解釋為以下兩者之間的相互作用：1) 由硬體效率（摩爾定律）驅動的確定性趨勢，以及 2) 由比特幣價格波動驅動的隨機偏差，後者改變了即時獎勵 $R(t)$。難度調整機制是將這些經濟力量轉化為計算指標的關鍵耦合機制。
關鍵模型洞見
- 內生安全性：均衡算力，以及安全性，與加密貨幣價值掛鉤。
- 目標算力：一個隨機均衡概念穩定了網路。
- 難度調整：是連結經濟學與計算的關鍵回饋機制。
- 激勵相容性：MFG形式化了中本聰最初的激勵設計。
7. 技術細節
數學核心在於主方程。礦工最優控制問題的哈密頓量 $H$ 為：
$$ H(m, p) = \max_q \left\{ \frac{q}{\int z dm(z)} \cdot \frac{R}{\tau} - C(q) + p \cdot (\beta(q, m) - \delta q) \right\} $$ 其中 $p$ 是共態變數，$\beta$ 代表平均場互動效應，$\delta$ 是硬體的折舊率。難度調整建模為 $D(t) \propto Q(t)$，確保 $\mathbb{E}[\text{區塊時間}] = \tau$。這創造了回饋迴路：更高的 $Q$ → 更高的 $D$ → 每單位哈希的即時獎勵降低 → 影響未來的 $Q$。
8. 分析框架範例
案例研究：分析減半事件
考慮將MFG框架應用於比特幣「減半」事件，即區塊獎勵 $R$ 減半。該模型提供了結構化分析：
- 衝擊：獎勵函數 $R(t)$ 在時間 $T$ 發生不連續下降。
- 即時效應：目標算力 $Q^*$ 向下移動，因為礦工利潤方程的收入端減弱。
- 動態調整：營運成本（$C(q)$）最高的礦工變得無利可圖並關閉，從而降低 $Q(t)$。
- 新均衡：在其他條件不變的情況下，網路收斂到一個新的、更低的穩態算力增長路徑。然而，如果減半事件與需求增加（價格 $S_t$ 上漲）同時發生或觸發需求增加，新的 $Q^*$ 可能會更高，從而抵消獎勵削減的影響。
此範例展示了該框架如何將協議規則的機械效應與內生的經濟反應分離開來。
9. 未來應用與方向
MFG方法開闢了多個研究和實務途徑：
- 替代共識機制：將MFG應用於權益證明，以比較其均衡安全性質和穩定性。
- 監管影響建模：透過將能源稅或挖礦禁令作為成本衝擊 $\theta(t)$ 納入模型，來模擬其影響。
- 多區塊鏈競爭：擴展到多貨幣MFG，其中礦工在不同的PoW鏈之間分配算力，類似於擁塞賽局中的模型。
- 即時風險指標：開發儀表板，估算當前算力與模型隱含目標 $Q^*$ 的距離，作為網路壓力或安全溢價的衡量標準。
- 併購分析：使用該框架評估礦池影響或適應平均場的能力，從而對其進行估值。
10. 參考文獻
- Bertucci, C., Bertucci, L., Lasry, J., & Lions, P. (2020). Mean Field Game Approach to Bitcoin Mining. arXiv:2004.08167.
- Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System.
- Garay, J., Kiayias, A., & Leonardos, N. (2015). The Bitcoin Backbone Protocol: Analysis and Applications. EUROCRYPT.
- Lasry, J., & Lions, P. (2007). Mean field games. Japanese Journal of Mathematics.
- Huang, M., Malhamé, R., & Caines, P. (2006). Large population stochastic dynamic games: closed-loop McKean-Vlasov systems and the Nash certainty equivalence principle. Communications in Information & Systems.
- Biais, B., Bisière, C., Bouvard, M., & Casamatta, C. (2019). The blockchain folk theorem. The Review of Financial Studies.
11. 批判性分析與產業洞見
核心洞見：本文不僅僅是一個數學練習；它是第一個嚴謹證明比特幣安全預算是內生決定且經濟理性的論文。MFG框架揭示，被廣泛討論的「算力」不僅僅是一個技術輸出，更是一個全球性、即時資本配置賽局的中心均衡變數。主方程優雅地捕捉了價格、難度和投資之間的回饋迴路，而其他模型對此的處理是割裂的。
邏輯流程與優勢：作者從簡單的確定性模型到豐富的隨機模型的邏輯推演非常出色。從算力隨技術進步（$g$）增長的穩態開始，他們建立了一個與長期實證趨勢相符的基準。引入隨機價格以推導出「目標算力」$Q^*(S_t)$ 是本文的關鍵洞見。它解釋了市場現象，例如價格下跌與算力下降之間的滯後——礦工不會立即退出；他們會持續營運直到其成本超過新的、更低的預期價值。其優勢在於使用數學金融中成熟的框架（MFG）來解決電腦科學（共識）中的問題，在原先只有啟發式推理的地方提供了經濟直覺。
缺陷與缺失環節：模型的優雅性也是其局限性。它假設了連續的無限小礦工，抽象掉了挖礦中心化和礦池主導的嚴酷現實。少數大型礦池（如Foundry USA或AntPool）的行為可以策略性地影響平均場，這種情況更適合用帶有主要參與者的混合MFG來建模。此外，將技術進步 $g$ 視為外生變數是一個關鍵的疏忽。實際上，$g$ 本身是由挖礦預期利潤率驅動的——獎勵的前景推動了ASIC設計的研發。這創造了模型忽略的另一個回饋迴路。最後，雖然它引用了Lasry & Lions (2007)等開創性著作，但若能連結到關於網路效應和雙邊市場的相鄰文獻（如以太坊等平台中所見），將會得到加強。
可操作的洞見：對於產業參與者而言，本文提供了一個量化視角。投資者：該模型建議監控算力增長與價格增長的比率，作為網路健康狀況的指標。算力增長持續快於價格增長的時期，可能預示著過度投資和即將到來的礦工投降。協議開發者：分析強調，對獎勵結構的任何改變（例如EIP-1559的費用銷毀）都必須透過這個MFG視角進行分析，以預測安全均衡的變化。監管機構：試圖透過能源政策抑制挖礦並不會線性地降低安全性；模型預測礦工將遷移（改變 $\theta(t)$），直到找到新的全球均衡，這可能只是轉移了環境影響。關鍵結論是，比特幣的安全性不是一個固定設定，而是一個動態的、經濟驅動的均衡。無論是投資、開發還是政策制定，若以其他方式對待它，都是一個根本性的錯誤。